문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 게이지 장 (문단 편집) === 게이지 변환으로부터 전자기장을 얻기 === [[상대성 이론]]에서 몇 가지 요구사항으로부터 맥스웰 방정식이 도출되는건 이미 자명하다. 이번에는 일반적인 게이지 변환과 게이지 불변성의 중요성을 이해하기 위해 다른 방법으로 맥스웰 방정식을 구해 보도록 하겠다. 이어지는 내용은 Peskin의 An Introduction to Quantum Field Theory에서 참고하였다. 물론 먼저 '''맥스웰 방정식을 잊어 버린다'''. 그러면 우리는 [math(\displaystyle A^\mu)], [math(\displaystyle F_{\mu \nu})]와 그 방정식, 액션들을 모두 잊어버리는 것이 물론 게이지 변환도. 딱 하나만 남겨둘 것이다. 디랙 장의 게이지 변환이 그것이다. 즉, 이제부터 하려는 것은 '''로렌츠 불변성과 더불어 게이지 변환 [math(\displaystyle \psi \to \psi' = e^{-i\Lambda} \psi)]에 대해 불변하는 물리 법칙을 얻으려는 것'''이다. [math(\displaystyle \psi \to \psi' = e^{-i\Lambda} \psi)]를 게이지 변환이라고 불렀는데, 이것은 흔히 국소적인 위상 변환이라고 부른다. 만약 [math(\displaystyle \Lambda)]가 상수라면 이때 이 변환을 전역적인 위상 변환이라고 부른다. 그리고 이러한 전역적인 변환을 가해도 물리가 변하지 않는 것을 가리켜 전역 대칭성(global symmetry)가 있다고 말한다. 이러한 전역적인 위상 변환에 대한 불변성은 이미 양자역학에서 익숙한 사항이다. 슈뢰딩거 방정식에 대입해 보면 바로 알 수 있는 것이다. 하지만 국소적인 위상 변환, 즉 [math(\displaystyle \Lambda)]가 더 이상 상수가 아닌 (시간과) 공간에 대한 함수일 때 변환이라면 이야기가 달라진다. 당장 슈뢰딩거 방정식에 대입해 봐도 일반적인 슈뢰딩거 방정식에서는 방정식 자체가 변해 버린다. 즉, 슈뢰딩거 방정식은 국소적인 위상 변환에 대해 불변하지 않다. 하지만 퍼텐셜(과 운동량)이 적절하게 잡히고 새로운 물리량들이 파동함수의 국소적인 위상 변환에 대해 어떤 특정한 변환을 같이 하게 된다면 국소적인 위상 변환이 일어나도 슈뢰딩거 방정식이 변하지 않는다는 것을 위에서 봤었다. 그리고 이렇게 국소적인 변환을 가해도 물리가 변하지 않는 상황을 가리켜 국소 대칭성(local symmetry)이 있다고 말한다. 사실 좌표계의 변환에서도 전역 대칭성과 국소 대칭성을 말할 수 있었다. 특수 상대성 이론에서 좌표 변환 행렬 [math(\displaystyle \partial (x')^\mu / \partial x^\nu)]는 상수 행렬(로렌츠 변환 행렬)이었다. 이런 것도 전역적인 변환이고, 물리 법칙들은 '''좌표 변환에 대한 전역 대칭성을 가지고 있는 것'''이다. 그런데 일반 상대성 이론에서는 여기서 더 나아가 좌표 변환 행렬이 상수가 아닌 경우에서도 물리 법칙이 불변할 것을 요구했다. 이때 미분기하학으로 상황을 표현하면서 도함수, 적분, 메트릭 텐서 같은 것들의 재정의 및 도입을 거쳐 모든 물리 법칙들이 일반적인 좌표 변환, 즉 시공간에 대해 변하는 좌표 변환에서도 불변이도록 한 것이 일반 상대성 이론에서 한 일이었다. 그렇게 해서 '''물리 법칙들은 좌표 변환에 대한 국소 대칭성을 가지게 되었다'''. 그런데 그런 일반적인 요구 사항을 만족시키도록 하니 새로운 물리량의 다이나믹스가 튀어 나왔다. 시공간의 휘어짐, 혹은 중력이 그것이었다. 즉, '''좌표 변환에 대한 전역 대칭성이 국소 대칭성으로 확장되더니 새로운 물리 법칙(시공간의 휨, 중력)이 튀어나왔다'''. 게이지 대칭성 혹은 위상에 대한 국소 대칭성을 요구할 때에도 이와 똑같은 일이 벌어진다. 처음엔 별거 없었던 '''위상에 대한 전역 대칭성이 국소 대칭성으로 확장되면 새로운 물리 법칙이 튀어나온다는 것이다'''. 다음에 보일 내용이 바로 그것이다. 먼저 자유 입자에 대한 디랙 장의 액션을 살펴 보면, [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \bar{\psi} \psi d^4 x.)] 이 액션은 일단 로렌츠 불변성을 갖는다. 그리고 [math(\displaystyle a)]가 상수일 때 [math(\displaystyle \psi \to e^{ia} \psi)] 같은 변환을 취해줘도 액션은 변하지 않는다. 즉, 전역적인 위상 변환에 대해 불변하다. 이제 전역적이지 않은, 즉 국소 위상 변환을 생각해 보자. [math(\displaystyle \overline{e^{-i\Lambda} \psi} = (e^{-i\Lambda} \psi)^\dagger \gamma^0 = \psi^\dagger \gamma^0 e^{i\Lambda} = \bar{\psi} e^{i\Lambda})]이므로 위 액션 중 두번째 항은 국소 위상 변환, 즉 게이지 변환에 대해 변하지 않는다. 하지만 첫번째 항은 그렇지 않다. 다음으로부터 알 수 있다. [math(\displaystyle \bar{\psi'} i \gamma^\mu \partial_\mu \psi' = \bar{\psi} e^{i\Lambda} i \gamma^\mu \partial_\mu (e^{-i\Lambda} \psi) = \bar{\psi} e^{i\Lambda} i \gamma^\mu e^{-i\Lambda} (\partial_\mu \psi - i ( \partial_\mu \Lambda ) \psi) = \bar{\psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \psi + \bar{\psi} \gamma^\mu (\partial_\mu \Lambda) \psi.)] 게이지 불변성, 즉 국소 위상 변환에 대한 불변성이 있으려면 최종 결과가 원래 액션 [math(\displaystyle \bar{\psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \psi)]와 같아야 한다. 그런데 그렇지 않고 어떤 또다른 항 하나가 더 붙었다. 게이지 불변성이 없는 것이다. 보통 같았으면 포기했을지도 모르겠지만 대신에 물리학자들은 이 액션을 변형시키는 것으로 문제를 해결하려고 했다. 여기서 디랙 장만으로 구성된 다른 항을 액션에 추가하는 것은 별 도움이 안 된다. 사실 재규격화 가능성을 생각하면 그마저도 불가능한 상황이다. 따라서 기존에 있던 뭔가를 다른 것으로 바꿔야 한다. 그러고 보면 저 새로운 항은 미분 연산에 의한 것이었다. 즉 미분 연산자가 게이지 불변성에 방해를 끼치는 것이었다. 실제로 문제가 일어날 만 하다는 것을 도함수의 정의로부터 알 수 있다. 임의의 벡터 [math(\displaystyle a^\mu)]의 방향으로의 도함수는 다음과 같이 정의된다. [math(\displaystyle a^\mu \partial_\mu \psi = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\psi(x + ha) - \psi(x)).)] 그런데 일단 이 꼴부터가 게이지 불변성에 맞지 않는다는 것을 알 수 있다. 디랙 장의 게이지 변환은 각 점에서 각기 다른 위상 차이를 주는 것으로 정의된다는 것을 식으로부터 알 수 있다. 즉, 게이지 변환에 의한 위상 변화는 [math(\displaystyle \psi(x + ha))]와 [math(\displaystyle \psi(x))]에서 각각 다르다. 그런데 각 점에서의 위상 변화는 [math(\displaystyle \Lambda)]가 뭐냐에 따라 각각 다 다른데 이런 상황에서 [math(\displaystyle \psi(x + ha))]와 [math(\displaystyle \psi(x))]의 차이는 아무리 가까운 두 점에서의 차이라 할 지라도 [math(\displaystyle \Lambda)]에 너무 의존적이게 된다. 이러한 의존성은 게이지 불변성을 해치는 결과를 가져온다. [math(\displaystyle \bar{\psi})]의 변환을 상쇄시키지 못하는 것은 당연하고. 이러한 점들을 감안하였을 때 '''도함수를 아예 새로운 것으로 대체해야 한다'''. [math(\displaystyle a^\mu D_\mu \psi = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\psi(x + ha) - U(x + ha, x) \psi(x)).)] 여기서 [math(\displaystyle D_\mu)]는 '''공변 도함수(covariant derivative)'''라고 불리우며[* 일반 상대성 이론 혹은 미분기하학에서 봤던 그 공변 도함수와 유사하다. 이 사실은 게이지 장이 미분기하학에서 표현될 수 있도록 하는 단초를 마련한다.] [math(\displaystyle U(y, x))]는 어떤 함수로 [math(\displaystyle U(y, x) \to e^{-i\Lambda(y)} U(y, x) e^{i\Lambda(x)})]와 같이 게이지 변환이 되는 함수이다. 이것을 도입하면 위 식에서 각 항의 게이지 변환에 의한 위상 변화는 둘 다 [math(\displaystyle e^{-i\Lambda(x + ha)})]가 되어 다음과 같은 게이지 변환이 성립함을 알 수 있다. [math(\displaystyle a^\mu D_\mu \psi \to a^\mu (e^{-i\Lambda} D_\mu \psi).)] 따라서 액션의 [math(\displaystyle \partial_\mu)]를 [math(\displaystyle D_\mu)]로 교체하면, 즉 [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} i \gamma^\mu D_\mu \psi - m \bar{\psi} \psi d^4 x.)] 과 같이 액션을 바꿔 쓰면 이 액션은 게이지 불변성을 만족한다! 이제 [math(\displaystyle U(y, x))]의 정체를 더 살펴 보자. [math(\displaystyle U(y, x))]의 정확한 꼴까지는 별로 관심이 없다. 다만 [math(\displaystyle h)]가 작을 때 [math(\displaystyle U(x + ha, x))]가 어떤 꼴로 써지는 것만 알아도 충분하다. 어차피 [math(\displaystyle h)]의 2차 이상을 가진 항은 [math(\displaystyle D_\mu)]의 정의를 봤을 때 전부 없어져 액션에는 별 영향을 못 미치기 때문이다. 유니타리 성질 등 몇 가지 당연하거나 꼭 있어야 할 성질들을 고려하면 [math(\displaystyle U(x, x) = 1)]이고 [math(\displaystyle U(y, x) = exp{iu(y, x)})] 꼴이어야 함을 알 수 있는데, 이를 통해 어떤 벡터 장 [math(\displaystyle A_\mu)]가 존재해 [math(\displaystyle U(x + ha, x))]가 다음과 같이 써질 수 있음을 알 수 있다.[* 물론 로렌츠 불변성은 기본이다.] [math(\displaystyle U(x + ha, x) = 1 - ie h a^\mu A_\mu + h^2 (\cdots).)] 여기서 [math(\displaystyle e)]는 디랙장과 전자기 게이지장을 연결[* 정확히 말하면 연결의 세기를 나타낸다. ]하는 전자기 커플링(coupling) 상수이다. 공변 도함수에 대입하면 다음을 얻는다. [math(\displaystyle a^\mu D_\mu \psi = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\psi(x + ha) - U(x + ha, x) \psi(x)))] [math(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \psi(x + ha) - (1 - ie h a^\mu A_\mu + h^2 (\cdots)) \psi(x) \right] = a^\mu ( \partial_\mu + ie A_\mu ) \psi.)] 따라서 [math(\displaystyle D_\mu = \partial_\mu + ie A_\mu)]이다. 한편, [math(\displaystyle U(y, x))]의 게이지 변환을 통해 [math(\displaystyle A_\mu)]의 게이지 변환을 알 수 있다. [math(\displaystyle e^{-i\Lambda(x + ha)} U(x + ha, x) e^{i\Lambda(x)} = \left( \sum_{r = 0}^\infty h^r \left. \frac{d^r}{dh^r} \right|_0 e^{-i\Lambda(x + ha)} \right) (1 - ie h a^\mu A_\mu + h^2 (\cdots)) e^{i\Lambda(x)})] [math(\displaystyle = e^{-i\Lambda(x)} \left( 1 - ih a^\mu \partial_\mu \Lambda(x) + h^2 (\cdots) \right) (1 - ie h a^\mu A_\mu + h^2 (\cdots)) e^{i\Lambda(x)})] [math(\displaystyle = (1 - ie h a^\mu ( A_\mu + \frac{1}{e} \partial_\mu \Lambda ) + h^2 (\cdots)))] [math(\displaystyle h)]는 임의의 변화량으로, 위 식에서 [math(\displaystyle h)]의 각 항은 독립적이다. 이로부터 [math(\displaystyle A_\mu)]가 [math(\displaystyle A_\mu + \frac{1}{e} \partial_\mu \Lambda)]로 게이지 변환한다는 것을 알 수 있다. 여기서 잠깐 위에서 얻은 QED의 액션과 그 게이지 변환과 비교해 보자. 사실 지금 얻은 결과에서 모든 [math(\displaystyle \Lambda)]를 [math(\displaystyle e\Lambda)]로 교체하면 QED에서 다뤘던 것과 똑같은 액션에 똑같은 게이지 변환이 일어난다는 것을 알 수 있다. 즉, '''게이지 불변성을 요구했더니 전자기장(으로 보이는 것)이 존재하여 디랙 장이 전자기장과 상호작용해야 한다는 것을 얻었다'''. 하지만 아직 단정하기는 이르다. 디랙 장이 어떤 벡터 장과 상호작용해야 한다는 것을 얻었지만, 이 장의 정체, 장의 동역학을 아직 모르기때문에 벡터장 [math(\displaystyle A_\mu)] 만으로 이루어진 액션 항을 구해야 한다. 그런데 지금 우리가 요구하는 것은 로렌츠 불변성과 더불어 게이지 불변성까지 있어야 한다. 즉, [math(\displaystyle A_\mu)]와 그 도함수로만 이루어진 스칼라가 필요하다. 일반 상대론에서 장의 도함수의 교환자는 아래와 같으므로, [math(\displaystyle [D_\mu, D_\nu] \psi = (D_\mu D_\nu - D_\nu D_\mu) \psi.)] 따라서, 게이지 변환을 적용하면 [math(\displaystyle [D_\mu, D_\nu] \psi \to e^{-i\Lambda} [D_\mu, D_\nu] \psi)]이므로 , [math(\displaystyle [D_\mu, D_\nu] \psi = ie (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) \psi.)] 따라서 게이지 변환에 대해 변하지 않는 전자기 텐서 [math(\displaystyle F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)]를 얻는다. 그리고 이 텐서로부터 얻을 수 있는 스칼라 [math(\displaystyle F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})]가 액션 안에 들어가기 적합해 보인다. 따라서 다음 액션을 생각할 수 있다. [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} ( i \gamma^\mu D_\mu - m ) \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} d^4 x.)] 정확하게 QED의 액션이다. 결국 '''로렌츠 불변성과 게이지 불변성 만으로[* 그리고 적당한 디랙 장이 존재한다는 것도.] 양자전기동역학이 얻어진 것이다''' 다만 아직 완성이라고 말하기 어려운 게, 사실 위에 쓴 액션은 제일 간단한 액션이다. 무슨 말이냐면 사실 가능한 (로렌츠 불변이면서 게이지 불변인) 스칼라는 무수히 많다. 예를 들어 [math(\displaystyle (\bar{\psi} \psi)^2)]이라든가 [math(\displaystyle \bar{\psi} \gamma^\mu F_{\mu \nu} \gamma^\nu \psi)]라든가. 고전적인 결과와 맞추기 위해서라고 해도 사실 저런 항들의 계수가 고전적인 영역에서 무시할 수 있을 정도로 작다고 주장하면 할 말 없어진다. 이런 것들이 왜 액션에 포함될 수 없는지를 말하는 것은 로렌츠 불변성과 게이지 대칭성 만으로 설명할 수가 없다. 그런데 이런 다른 항들이 불가능하다는 것을 설명할 수 있는 방법이 양자장론의 프레임 안에 들어 있다. 바로 '''재규격화 가능성(renormalizability)'''이다. 자세한 설명은 너무 어려우므로 생략하겠지만 이 성질 때문에 QED의 액션은 딱 저 정도로 결정된다는 것을 말할 수 있다. 어쨌든 게이지 불변성 혹은 게이지 대칭성은 이러한 강력함을 가지고 있기에 많은 물리학자들이 중요하게 여기는 것이다. 괜히 물리학자들이 대칭성을 논하는 것이 아니다. 이렇게 해서 위상에 대한 전역 대칭성을 국소 대칭성으로 확장시키면 전자기장이 있어야 한다는 것을 이끌어냈다. 맨 위에서 중력과 비교한 내용과 일치하는 내용이다. 더 강력한 대칭성이 우리가 전에 알고 있던 물리학의 근본이 된다는 것은 한편으로는 우아하다고 볼 수 있다.[* 물리학자들이 쓴 책들을 보면 '아름답다', '우아하다'라고 말하는 대목들이 많은데, 사실 이런 것 때문이다.] 물론 그냥 자연이 그런 거니까 생각하면 이런 작업이 무슨 필요인가 하는 생각도 들지 모른다. 하지만 그것에 그치면 이런 현상을 못 보게 되는 것이다. 최소한의 요구 만으로, 특히 다른 것도 아닌 '''대칭성을 요구한 것만으로 삼라만상의 근본 원리가 왜 그렇게 되어 있는가를 설명할 수 있는 것'''이다. 경제적이면서도 대칭성으로부터 나왔다는 것 때문에 우아하기까지 하다. 이런 것 때문에 물리학자들은 자연의 근본 원리가 대칭성이라고 굳게 믿고 있다. 괜히 물리학자들이 대칭성을 강조하는 것이 아닌 것이다. 그리고 다음 항목에서는 대칭성이 이미 알고 있던 법칙의 이유를 설명하는 데에 그치지 않고 우리가 모르고 있던 새로운 법칙[* 그 법칙의 지배를 받는 상호작용([[강력|강한 상호작용]], [[약력|약한 상호작용]])이야 이미 관측이 되어 그 존재를 알았지만 정확한 매커니즘은 모르고 있었던 것이다. 즉, 전자기장을 설명하는 맥스웰 방정식 같은 게 그전엔 없었던 것이다.]을 이끌어낸다는 것을 보게 될 것이다. 참고로 [math(\displaystyle A^2 = A_\mu A^\mu)]와 같은 항은 로렌츠 불변성을 만족하지만 게이지 대칭성을 만족하지 못하므로 QED의 액션에 포함될 수 없다. 그런데 양자장론에 의하면 액션에 들어 가 있는 한 장의 제곱은 그 장에 해당하는 입자의 질량을 나타내는 항이다. 디랙 장의 [math(\displaystyle m \bar{\psi} \psi)]가 바로 이에 해당한다.[* 참고로 스칼라 장의 액션을 봐도 [math(\displaystyle m^2 \phi^2)]가 질량에 해당하는 항임을 알 수 있다.] 마찬가지로 벡터 장의 제곱 역시 입자의 질량을 결정하는 항인데, 이 항이 QED의 액션에 포함되어 있지 않다는 것은 벡터 장의 양자가 0의 질량을 가진다는 것의 의미한다. 즉, 전자기장의 양자인 광자의 질량은 0이어야 한다는 것이다. 이렇게 '''게이지 대칭성은 왜 광자의 질량이 0인가를 설명해 준다'''.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기